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均值不等式的推广到的证明,均值不等式的推广到的证明数学归纳法?

平均不等式大家都很熟悉,特别是算术平均大于几何平均,在高一的基本不等式部分有专门提到。概括到n元的一般情况是:

均值不等式的推广到n的证明,均值不等式的推广到n的证明数学归纳法?

这四个平均值,从左到右分别是平方平均值、算术平均值、几何平均值和调和平均值。对于二进制的情况,证明非常简单。现在扩展到n元。这个公式包含三个不等式,中间和右边的不等式是对称的,所以实际上是为了证明两个不等式。

先证明左边那个:

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这不就是柯西不等式吗?所以很容易证明。对于中间不等式,我用加法证明。我们知道:

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其实这里把N之后的所有项都取为A,项数是2的幂,这样就写出了上面的不等式。接下来,由这个公式推导出中间不等式。

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所以证明了中间这个不等式。接下来证明右边的不等式和中间的不等式其实是对称的。只需制作:

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就是变量代换后的中间不等式。

接下来我要开始降维打击。刚才这三个不等式都被一一证明了。其实只要构造一个函数,就可以证明三个不等式的统一性。

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可以看出,r=2时是平方不等式,r=1时是算术平均值,r=-1时是调和平均值。还是有几何平均的,这里要先证明一个极限:

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也就是说这个函数在0的极限就是几何均值。现在证明这个极限成立。

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所以让函数在0的值等于极限,这样就在实数域定义了函数:

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可以看出函数在整个实数域内是连续的。只要知道函数在实数域上不是严格单调递增的,就可以证明初始不等式。这个证明方法就是对这个函数求导,证明导函数总是大于等于0。在降维的攻击下,可以看出前四个平均值是一个函数在特定点的值。这个函数是平均值的更一般形式,称为幂平均函数。也可以创造更多的平均值。

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