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二次函数顶点式公式推导(二次函数顶点坐标公式另类推导口诀)

二次函数y=ax2+bx+c的配方如果按照如下口诀进行,则往往会因为出现分数给变形带来麻烦,下面再介绍另一种方法口诀:

a的四倍乘两边——4ay=4a2x2+4abx+4ac;

先加后减b平方——4ay=(4a2x2+4abx+b2)+4ac-b2;

至此容易配方为:4ay=(2ax+b)2+4ac-b2,

最后两边再除以4a,把y的系数化为1,得

y=(2ax+b)2/(4a)+(4ac-b2)/(4a),

即y=(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a.

这种方法在具体问题中的运用请看如下例子:

例1把y=2×2–3x-5化为y=a(x-h)2+k的形式.

解:a=2,b=-3,两边乘以2的4倍——8,得:

8y=16×2–24x-40,

右边加减b的平方——9,得:

8y=(16×2–24x+9)–40-9,

配方,计算,得:

8y=(4x-3)2-49,

所以y=(4x-3)2/8-49/8,

即y=2(x-3/2)2–49/8.

例2求二次函数y=-x2+5x-9图象的顶点坐标.

解:根据配方口诀,得:

-4y=4×2–20x+36,

-4y=(4×2–20x+25)+36-25,

-4y=(2x-5)2+11,

所以y=-(2x-5)2/4-11/4.

所以顶点坐标为(5/2,-11/4).

例3求二次函数y=3×2/2+8x+13的最小值.

解:根据配方口诀,得:

6y=9×2+48x+78,

6y=(9×2+48x+64)+78-64

6y=(3x+8)2+14

所以y=(3x+8)2/6+7/3.

因为a=3/2>0,所以当3x+8=0,即x=-8/3时,y最小值=7/3.

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