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正方体的特征,正方体是几何图形?

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一.概念描述

现代数学:正方体亦称立方体。它是一种正多面体。即棱长相等的长方体,因此亦称正六面体,如下图。

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小学数学:2007年北京版教材第10册的第3页指出:长、宽、高都相等的长方体叫作正方体(也叫作立方体)。

二.概念解读

(1)正方体的认识过程

正方体是正多面体的一种。正多面体或称柏拉图立体,指各面部是全等的正多边形且每一个顶点所接的面数都是一样的凸多面体。柏拉图在《蒂迈欧篇》中对毕达哥拉斯学派发现的正四面体、正六面体、正八面体和泰特托斯发现的正十二面体、正二十面体进行了描述,因此得名。

(2)正方体的特征

正方体除具有长方体的所有特征外,还有自己的独特之处:6个面是全等的正方形;12条棱长度相等;对角线如上图AC’的长是一条棱长的√3倍,对角线交于正方体的中心且互相平分等。

三.教学建议

(1)教学线索

正方体的教学适宜在长方体的基础上,通过直观比较与适当推理相互配合的过程组织教学。具体结构如下:

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例如,由一组对面是正方形的长方体产生问题:比它更特殊的长方体会是怎样的形状?会不会有两组对画都是正方形的长方体,为什么?如果六个面都是正方形,这样的长方体的棱长有什么关系?为什么?在这样的问题分析中,适当给予直观支撑来组织教学,使学生的推理、想象能力均得到发展。

(2)在展开图教学中发展学生的想象力

正方体的展开图有以下11种:

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在教学正方体展开图时不一定要穷举所有情况。可以先组织学生动手剪开正方体纸盒,并对学生得到的展开图进行比较,通过平移、旋转剔除重复的情况。然后对学生得到的某几种(如上图中前六种情况是将侧面展开成长方形)进行比较,引导学生“想一想,将侧面展开成长方形时,上、下面还可以在哪些位置?为什么?并用下面的纸片试一试”。

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从另外五种情况中选择学生没有得到的一两种,引导学生先在居中的面上标“底”作为底面,然后从邻面起先想一想,再标上“左、右、前、后、上”,最后折一折。这样先想后试的过程,重在培养学生的想象力。

(3)在切割中研究表面积的变化,培养学生的创新意识,发展空间观念

适度研究正方体切割中的表面积问题,既可以提高学生的兴趣,又可以培养学生的创新意识、发展空间观念。例如,教师可以提出:从棱长为2的正方体上截去一个或两个棱长为1的正方体(如下图),其中左图表面积与原正方体的表面积相等,右图减少两个面积为1的正方形。对它们的表面积你能提出哪些问题?和同学一起交流、解决这些问题。

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(4)在“堆积”中建立正方体的体积,发展空间观念

因为长方体体积V=axbxh,而正方体的棱长都相等(a=b=h),所以正方体的体积V=axaxa=a的三次方。这是表现形式上的简单推理,在这样的过程中,学生对V=a的三次方的本质缺少感知。这时教师可以组织学生用体积单位分别堆积棱长为2、3、5的正方体,并计算它们体积。这样,学生不仅能自主生成正方体体积计算方法,还能进一步感悟体积单位的累积,而且对“a的三次方”这个新的表达形式建立清晰的认识。

四.推荐阅读

《几何原本》(欧几里得,陕西人民出版社,2010)

该书第13卷收录了正多面体的作法。命题13描述正四面体的作法,命题14是正八面体,命题15是正方体,命题16是正二十面体,命题17是正十二面体。

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